Calcul de sommes complexes

Énoncé

Soit `x`  un réel. On cherche à trouver une expression explicite des sommes : \(C=\sum\limits_{k=0}^n \cos(kx) =1+\cos(x)+\cos(2x)+...+\cos(nx)\)  
et \(S=\sum\limits_{k=0}^n \sin(kx) =\sin(x)+\sin(2x)+...+\sin(nx)\) .

1. Exprimer \(C+iS\) comme une somme d'exponentielles complexes.

2. On suppose que  \(x\) n'est pas un multiple de \(2\pi\) .
    a. Calculer \(\sum\limits_{k=0}^n \text e^{ikx}\) .
    b. Démontrer que \(1-\text e^{ix}=-2i\text e^{i\frac{x}{2}}\sin\left(\frac{x}{2}\right)\) .
    c. Démontrer que \(1-\text e^{i(n+1)x}=-2i\text e^{i\frac{(n+1)x}{2}}\sin\left(\dfrac{(n+1)x}{2}\right)\) .
    d. En déduire que \(C+iS=\text e^{i\frac{nx}{2}} \times\dfrac{\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}\) .
    e. En déduire la valeur de  \(C\) et celle de  \(S\) .

3. Étudier le cas où  \(x\) est un multiple de \(2\pi\) .

4. Applications
Soit \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(n \geqslant 2\) .
    a. Calculer \(\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) +\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right) +... +\cos\left(\frac{(n-1)\pi}{n}\right)\) .
    b. Démontrer que :
\(\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) +\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) +... +\sin\left(\frac{(n-1)\pi}{n}\right) =\dfrac{1}{\tan\left(\frac{\pi}{2n}\right)}\) .